La geodesia è la scienza che si occupa dello studio della forma e delle dimensioni della superficie di riferimento terrestre, del suo campo gravitazionale e dei fenomeni geodinamici come lo spostamento dei poli, le maree terrestri e i movimenti della crosta (geodesia teorica). La geodesia si occupa anche dell’elaborazione di teorie e procedure operative finalizzate alla conoscenza, descrizione, misurazione e rappresentazione di aree più o meno estese della Terra (geodesia operativa).
La scienza che studia gli strumenti e le modalità di funzionamento, di calcolo e di progettazione necessari per la rappresentazione grafica di una parte più o meno estesa della superficie terrestre è invece la topografia (dal greco topos, luogo e graphein, scrivere).
Uno degli aspetti più importanti della cartografia è quello di dare una rappresentazione dell’intera superficie del territorio da rappresentare in un sistema di riferimento unico e condiviso. Il territorio è quindi rappresentato sia dal punto di vista altimetrico che planimetrico. La rappresentazione altimetrica si ottiene attribuendo un’altezza ad ogni generico punto della superficie fisica della Terra; tale altezza è data dalla distanza, lungo la verticale passante per il punto, da una superficie di riferimento detta geoide. La rappresentazione planimetrica si effettua mettendo in relazione i punti della superficie terrestre con i punti del sistema cartesiano piano, detto proiezione cartografica, attraverso una superficie matematica di passaggio intermedia rappresentata dall’ellissoide di riferimento.
La terra, il geoide e l’ellissoide
Uno dei primi problemi che dovettero affrontare i geodeti fu quello di definire una superficie matematica della Terra che permettesse di far corrispondere i punti della superficie fisica della Terra con i punti di un sistema cartesiano piano. Per fare ciò è stata scelta una tripletta cartesiana ortogonale (X, Y, Z) che potesse rappresentare un sistema di riferimento a cui riferire le coordinate della superficie matematica (fig. 1).
Figura 1 – Sistema geocentrico e coordinate geografiche terrestri (Galleto, Spalla 1999)
Questa triade può essere definita come segue:
- origine della triade nel baricentro della massa terrestre
- Asse Z coincidente con l’asse di rotazione terrestre
- Asse X ortogonale a Z nel baricentro della massa terrestre nel piano contenente il punto di intersezione tra il meridiano di Greenwich e l’equatore.
Questo sistema è chiamato sistema geocentrico.
Dato un punto P sulla superficie fisica della Terra, il piano del meridiano terrestre passante per P è definito come il piano contenente l’asse di rotazione terrestre e il punto P.
Ogni punto P sulla superficie terrestre può essere individuato in due modi diversi:
- in funzione delle sue coordinate X, Y, Z nel sistema geocentrico
- in funzione di una coppia di coordinate geografiche terrestri rappresentate dalla latitudine terrestre e dalla longitudine terrestre.
La latitudine terrestre è l’angolo che la verticale passante per il punto P forma con un generico piano ortogonale all’asse di rotazione terrestre, in particolare con il piano equatoriale; la longitudine terrestre è, invece, l’angolo diedro che il piano, contenente il punto P e l’asse di rotazione terrestre, forma con un piano di riferimento della longitudine, che è quello definito dall’asse di rotazione terrestre e dal piano contenente l’asse X, che è il piano meridiano passante per Greenwich (Galletto, Spalla, 1999).
Per definire l’espressione matematica della Terra, i geodeti presero come punto di partenza il suo campo gravitazionale, partendo dal presupposto che in ogni punto della Terra esista la forza di gravità, data dalla somma della forza di attrazione newtoniana e della forza centrifuga forza. Si è quindi assunta come superficie matematica della Terra una superficie sempre perpendicolare alle linee di forza del campo gravitazionale; ma poiché il numero di queste linee è infinito, se ne è scelta una in particolare, cioè quella che passa per il livello medio del mare in un punto preciso della superficie terrestre. Questa superficie è chiamata geoide.
In modo riduttivo si può affermare che il geoide è la superficie che si otterrebbe estendendo la superficie del mare al di sotto delle terre emerse in assenza di perturbazioni accidentali o periodiche (maree, venti, correnti, ecc.) o di equilibrio idrostatico assunto dalla superficie degli oceani, detta anche superficie del livello medio del mare (misurato dal mareografo).
Qualsiasi punto dello spazio prima di essere riportato sul piano della mappa viene immaginato trasferito sul geoide, proiettandolo verticalmente, quindi secondo la verticale del luogo. Tuttavia la formulazione matematica del geoide è molto complessa in relazione al fatto che comprende non solo quantità geometriche ma anche meccaniche come la densità dei diversi punti all’interno della massa della Terra. Successivamente sono state definite altre superfici di riferimento che approssimano il geoide, per le quali è possibile individuare espressioni matematiche più semplici.
L’ellissoide, che rappresenta la forma matematica più adatta per rappresentare la superficie della Terra, non è altro che la superficie generata dalla rotazione di un’ellisse di semiassi aeb attorno all’asse Z, coincidente con l’asse di rotazione terrestre. Questo ellissoide è chiamato geocentrico (fig. 2).
Figura 2 – Ellissoide di rotazione geocentrica (Galletto Spalla 1999)
Dato un punto P sulla superficie dell’ellissoide, il piano meridiano di P è definito come il piano contenente l’asse di rotazione Z e il punto P; Il meridiano P è definito come l’intersezione di detto piano con la superficie dell’ellissoide. L’espressione matematica piuttosto semplice dell’ellissoide permette di far coincidere facilmente i suoi punti con quelli di un sistema di coordinate cartesiane piane. L’espressione
in cui a = 6378388,00 m rappresenta il semiasse equatoriale dell’ellissoide e b = 6356912,00 m il semiasse polare. I valori di a e b sopra riportati sono quelli determinati dal geodeta Hayford nel 1909 e tuttora utilizzati per definire l’ellissoide di riferimento internazionale. I geodeti delle varie nazioni decisero di adottare non l’ellissoide geocentrico, ma un ellissoide della stessa dimensione e forma di quello geocentrico, ma leggermente ruotato e traslato rispetto ad esso, in modo tale da realizzare la condizione di tangenza a il geoide in un punto baricentrico del territorio da rappresentare (Galletto, Spalla, 1999).
Per l’Italia, i geodeti italiani scelsero alla fine del XIX secolo di realizzare questa coincidenza tra l’ellissoide nazionale e il geoide presso l’Osservatorio di Monte Mario a Roma (sistema Roma 40) e successivamente a Potsdam in Germania (sistema ED 50).
Sistemi di proiezione cartografica
Le carte geografiche sono rappresentazioni sul piano (sotto forma di elaborato grafico o informatico) della superficie fisica terrestre ad una scala assegnata 1/n, secondo regole prestabilite e segni convenzionali. Le proiezioni sono i metodi adottati per riportare e trasformare la griglia geografica in una griglia piana, al fine di ottenere la rappresentazione di una parte o dell’intera superficie terrestre. Pertanto le proiezioni sottendono l’utilizzo di mezzi geometrici e possono essere suddivise in:
- proiezioni prospettiche pure: quando la proiezione avviene su un piano tangente all’ellissoide in un dato punto. A seconda della posizione del centro di proiezione si avranno proiezioni centrografiche, stereografiche, scenografiche, ortografiche, ecc. (fig. 3)
Figura 3 – Proiezioni prospettiche: a. centrografico, B. stereografico, C. scenografico, D. ortografico
- proiezioni cilindriche pure: quando la proiezione dei punti dell’ellissoide avviene su una superficie avvolgente (cilindrica o conica), posta tangente all’ellissoide e con centro di proiezione al centro dell’ellissoide o lungo la direzione normale alla retta di tangenza (figura 4)
Figura 4 – Proiezione cilindrica e proiezione conica
Tra queste ultime, la più nota è la proiezione cilindrica isogonica di Mercatore (fig. 5). In questa proiezione, meridiani e paralleli sono diritti e perpendicolari tra loro; i paralleli invece di avvicinarsi nelle regioni polari, si allontanano, risultando più densi all’equatore che verso i poli. Pertanto i meridiani rimangono equidistanti, mentre in realtà si avvicinano progressivamente verso latitudini crescenti. Di conseguenza i paralleli si allontanano tra loro nella proporzione di quanto è maggiore la distanza dei meridiani sulla mappa che nella realtà (Pigato, 2000).
Figura 5 – Proiezione cilindrica isogonica di Mercatore
Rappresentazione di Gauss
Per mappa gaussiana si intende un sistema di coordinate cartesiane del piano N ed E e due funzioni f e g che mettono in relazione un generico punto P dell’ellissoide, dato attraverso le coordinate geografiche (latitudine e longitudine) φ e λ, ed il corrispondente punto P ‘ del sistema cartesiano. La rappresentazione di Gauss è stata scelta per la cartografia ufficiale italiana.
Per passare dal sistema ellissoidale ad un sistema piano N, E, Gauss ottenne le formule di trasformazione f (φ, λ) e g (φ, λ) imponendo le seguenti condizioni:
- l’equatore ellissoidale deve girare nell’asse delle ascisse E
- il meridiano ellissoidale assunto come origine delle longitudini deve essere trasformato nell’asse delle ordinate N
- un arco di lunghezza m sul meridiano di origine deve trasformarsi in un segmento di uguale lunghezza sull’asse delle ordinate N
- l’angolo α formato da due direzioni uscenti da un punto dell’ellissoide deve rimanere uguale a quello delle direzioni corrispondenti indicate nella mappa
- il coefficiente di deformazione, pur variando da punto a punto, deve essere lo stesso in tutte le direzioni in uscita da un punto.
Da queste condizioni analitiche sono state ottenute le due funzioni si f (φ, λ) e g (φ, λ) che, applicate alle coordinate, generano una proiezione simile a quella che si otterrebbe proiettando i punti dell’ellissoide, da il centro dell’ellissoide, su un cilindro tangente all’ellissoide lungo l’origine meridiana delle longitudini (fig. 6) (Galletto, Spalla, 1999).
Figura 6 – Cilindro tangente ad un meridiano
La cartografia gaussiana è coerente e quindi gli angoli misurati sulla mappa corrispondono perfettamente ai rispettivi angoli misurati al suolo; le lunghezze misurate sulla carta risultano invece leggermente deformate rispetto a quelle misurate sulla superficie di riferimento.
La Figura 7 sottostante mostra una rappresentazione della griglia geografica, cioè del complesso di linee che rappresentano le trasformate dei meridiani e dei paralleli: da notare che la trasformata del meridiano centrale è una linea retta. Si può facilmente vedere dalla figura 7 come il meridiano centrale sia rappresentato senza subire alcuna deformazione e come invece la deformazione cresca rapidamente allontanandosi dal meridiano centrale.
Figura 7 – Proiezione di Gauss
Per limitare le deformazioni, le rappresentazioni cartografiche solitamente utilizzate limitano l’estensione del fuso (porzione di ellissoide compresa tra due meridiani) che viene rappresentato in un unico sistema. La rappresentazione gaussiana è chiamata conformale cilindrica inversa, nota anche come proiezione trasversale di Mercatore.
Il sistema UTM (Universal Transverse Mercator).
Nel sistema UTM la Terra è divisa in 60 fusi orari di larghezza pari a 6° di longitudine, numerati da 1 a 60 procedendo da Ovest verso Est e attribuendo il numero 01 al fuso orario corrispondente all’antimeridiano di Greenwich (fig. 8 ). Ciascun fuso orario è stato suddiviso in 20 fasce di larghezza pari a 8° di latitudine ciascuna, identificate da una lettera maiuscola; ciascuna zona, identificata dall’intersezione di un fuso con una fascia, è ulteriormente suddivisa in quadrati di 100 km di lato, con linee parallele agli assi N ed E individuate da due lettere maiuscole. Un punto è identificato dalle coordinate alfanumeriche (numero del fuso, dalla lettera della fascia, dalla coppia di lettere del quadrato ed infine dalle sue coordinate piane riferite al vertice SW del quadrato di 100 km di lato).
A differenza della rappresentazione gaussiana, nella cartografia UTM la coordinata Nord ha origine sull’equatore, mentre, per eliminare l’uso di numeri negativi per le ascisse dei numeri posti ad Ovest dei rispettivi meridiani centrali, si è utilizzato uno spostamento fittizio dell’origine dell’ascissa, stabilendo una falsa origine e attribuendo ai punti del meridiano centrale di ciascuna zona un valore convenzionale dalla coordinata est pari a 500 km. Si determinano quindi le coordinate E (Est) e N (Nord), definite da: N = y; E = 500±x (De Toma, 1999).
Figura 8 – Mandrini di ampiezza 6° previsti dal sistema UTM
All’interno di un fuso, la deformazione lineare raggiunge il valore massimo sui meridiani esterni del fuso: il modulo di deformazione lineare, definito come rapporto tra un elemento lineare infinitesimo sulla carta e il corrispondente elemento misurato sull’ellissoide, raggiunge il valore di 1.0008 , il che significa che considerando due punti distanti 1000 m sull’ellissoide si trova sulla carta, tra i corrispondenti di tali punti secondo feg, una distanza pari a 1000,80 m.
Per limitare questa deformazione si introduce un fattore di contrazione pari a 0,9996, ovvero l’intera rappresentazione viene ridotta di 4/10.000. Esiste quindi un modulo di deformazione lineare di 0,9996 sul meridiano centrale, di 1,0004 sui meridiani estremi ed un modulo unitario su due linee vicine ai meridiani che hanno circa 2° di differenza di longitudine rispetto al meridiano centrale: in questo modo la relativa deformazione non supera il valore di 4/10.000, che è inferiore all’errore grafico commesso nella stesura della mappa. Dal punto di vista geometrico, l’applicazione del fattore di contrazione corrisponde ad utilizzare un cilindro non più tangente, ma leggermente più piccolo, e quindi secante, rispetto all’ellissoide (Fig. 9).
Figura 9 – Cilindro tangente e cilindro secante nella rappresentazione gaussiana
ROMA 40: Il sistema italiano GAUSS-BOAGA
La cartografia ufficiale italiana, proposta nel 1940 dal prof. Anche Boaga, come il sistema UTM, utilizza la rappresentazione gaussiana, ma prevede solo l’utilizzo di due fusi orari, detti fuso orario Ovest ed Est, che coincidono approssimativamente rispettivamente con i fusi orari 32 e 33 del sistema UTM e hanno rispettivamente meridiani posti a 9° e 15° a est di Greenwich come meridiani centrali. Il punto di emanazione (luogo geometrico in cui la normale all’ellissoide e la verticale, intesa come linea di forza del campo gravitazionale terrestre, coincidono) per il calcolo delle coordinate geografiche di tutti i vertici della rete geodetica italiana è stato assunse il vertice di Roma Monte Mario (sistema Roma 40), al quale, in seguito ad accurate osservazioni astronomiche, furono attribuite le seguenti coordinate geografiche:
φ = 41°55’25”.51 λ = 12°27’08” .40
Come ellissoide è stato scelto l’Ellissoide Internazionale proposto da Hayford orientato a Monte Mario. È stata stabilita una doppia falsa origine, una per ciascun fuso orario, attribuendo ai punti sul meridiano centrale della zona ovest un valore convenzionale di x pari a 1500 km e a quelli sul meridiano centrale della zona est un valore di 2520 km. Sono state quindi determinate le coordinate E ed N, definite da:
N = y per entrambi i fusi orari
E = 1500 ± x per il fuso orario occidentale
E = 2520 ± x per il fuso orario est
In questo modo la prima cifra della coordinata Est corrisponde sempre al numero della zona ed è quindi pari a 1 per la zona Ovest e 2 per la zona Est. Per collegare le rappresentazioni nei due fusi orari nazionali è stata creata una zona di sovrapposizione estendendo di 30′ di longitudine il fuso orario Ovest; in quest’area i vertici trigonometrici si riferiscono sia al fuso orario Est che a quello Ovest e i riferimenti dei due sistemi sono impressi sulla cartografia che rappresenta questa zona. Per consentire l’intera rappresentazione del territorio nazionale in soli due fusi orari, anche il fuso orario Est è stato ampliato di 30′ in modo da includere la Penisola Salentina che altrimenti sarebbe stata rappresentata su un terzo fuso orario (fig. 10).
Figura 10 – Suddivisione in fusi orari della cartografia ufficiale italiana
Infatti, per mantenere inalterato il taglio della cartografia preesistente in scala 1:25.000 e 1:100.000, l’area di sovrapposizione è stata ottenuta estendendo il fuso orario Ovest fino al meridiano di Roma (Monte Mario) e quindi il Il meridiano di separazione tra i due fusi orari è quello di longitudine 12°27’08”.40 (De Toma, 1999).
ED 50: Il sistema UTM europeo
Negli anni successivi alla seconda guerra mondiale, le nazioni dell’Europa occidentale decisero di unificare le proprie reti geodetiche ponendo a Potsdam, località nei pressi di Berlino (considerata il baricentro rispetto all’Europa), il punto di emanazione per il calcolo delle coordinate geografiche. . In particolare, fu proprio in questo punto che si impose la coincidenza tra la normale all’ellissoide e la verticale (normale al geoide). Poiché questo punto è diverso da quello adottato dal sistema Roma 40, ci troviamo di fronte a sfasamenti irregolari tra i due sistemi. Di conseguenza, le coordinate geografiche di Roma Monte Mario hanno subito piccole variazioni, risultando:
φ = 41°55’31”.49 λ = 12°27’10” .93
Questa differenziazione nell’orientamento dell’ellissoide fa sì che lo stesso punto della rete italiana abbia coordinate diverse nei due sistemi, pur prendendo come riferimento la stessa rappresentazione. Questo nuovo sistema, identificato con il nome di ED 50 (European Datum, 1950), ha adottato come meridiano fondamentale (longitudine 0°) il meridiano di Greenwich (fig. 11).
Figura 11 – Rappresentazione del Sistema UTM
Analogamente al sistema Roma 40, è stata stabilita una falsa origine, attribuendo ai punti sul meridiano centrale dei fusi orari 32 e 33 un valore convenzionale di + 500 km, in modo da ottenere coordinate sempre positive anche ad ovest del meridiano . Il sistema ED 50 ha in comune con quello di Roma 40 anche l’ellissoide di riferimento (cioè l’ellissoide di Hayford), la proiezione gaussiana con assi cartesiani rappresentati dall’equatore e dai meridiani (Pigato, 2000).
UTM-WGS 84: Il sistema mondiale
Per superare le limitazioni legate alla possibilità di rappresentare solo parzialmente la superficie fisica della Terra dei precedenti sistemi di riferimento come il Roma 40 e il Datum Europeo (ED 50), nel 1984 è stato creato un nuovo sistema di riferimento geodetico in grado di coprire l’intero globo, il World Geodetic System 1984 (WGS84). Si tratta di un sistema globale geocentrico, definito attraverso osservazioni spaziali e costituito da una triade cartesiana destrorsa con origine coincidente con il centro di massa della Terra, l’asse Z diretto verso il Polo Nord convenzionale nel 1984, l’asse X ortogonale al precedente. e intersecante il meridiano di Greenwich nel 1984 e l’asse Y diretto in modo da completare una triade destrorsa (fig. 12).
Figura 12 – Rappresentazione del sistema WGS 84
A differenza di altri sistemi di riferimento, che si basano sull’ellissoide di Hayford, questo nuovo sistema è associato all’ellissoide WGS84, con centro e assi coincidenti con quelli della triade cartesiana.
L’ellissoide WGS84 è definito dai seguenti parametri:
- semiasse maggiore: a = 6378137,00 m
- schiacciamento: s = 1/298,257223563.
La rappresentazione piana del sistema WGS84 avviene attraverso il sistema cartografico UTM. Il sistema WGS84 rappresenta normalmente il sistema di riferimento per il posizionamento effettuato con strumenti GPS e la sua implementazione su scala globale è stata curata dal Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti. In Europa l’implementazione del sistema WGS84 è costituita dall’ETRS89 (EUREF Terrestrial Reference System 1989), mentre in Italia il sistema WGS84 nasce con la realizzazione della rete geodetica tridimensionale ad alta precisione, denominata IGM95, rilevata con posizionamento strumenti GPS differenziale.
Le coordinate del punto Roma Monte Mario nel sistema WGS84 sono:
- latitudine 41°55’27.851”
- longitudine 12°27’07.658” (da Greenwich).
